数学中有很多对象和结构，我们想对它们做点什么比如给定一个数，我们会根据上下文把它翻倍，平方或者求逆，给定一个适当的函数，我们可能想对它求导，给定一个几何图形，我们可能要对它进行变换等等
如果我们定义一个数学程序，那么发明执行该程序的技能是一个显而易见的数学计划这就引出了关于这个节目的所谓直接问题可是，还有一种更深刻的所谓反问题，其形式如下假设给出了程序和执行程序得到的答案，能否找出这个程序作用于什么数学对象举个例子就很清楚了如果我告诉你有一个数，平方它，结果是9你能告诉我这个数字是多少吗很简单，答案是3或—3
如果你想更正式地讨论这个问题，你会说你刚刚研究了方程x 2 = 9，发现它有两个解。这个例子提出了三个一般性问题:
一个方程有解吗。
如果是，是否有一个确切的解决方案。
这些解决方案属于哪一类。
前两个问题叫做解的存在唯一性第三个问题在方程x 2 = 9的情况下没有太大意义，但在更复杂的情况下可能非常重要，比如偏微分方程
用更抽象的语言来说，设f是函数，摆在我们面前的就是这样一个命题它的形式是f = y，正问题是给定x求y，反问题是给定y求x，这个反问题叫做解方程f = y，解这种形式的方程的问题与函数f的可逆性密切相关，由于x和y可能是比数字更一般的对象，所以解方程的概念本身就很一般，所以是数学的中心问题之一
线性方程
小学生第一次遇到的方程是典型的2x+3 = 17这样的方程解这么简单的方程，我们把X看成一个未知数，这个未知数必须服从通常的算术规律使用这些规则，我们可以将这个方程变成一个简单得多的方程:从方程的两边减去3得到2x=14，然后将这个新方程的两边除以2得到x=7实际上，我们证明了如果存在某个数X，那么2x+3 = 17，那么这个数一定是7我们还没有证明的是有这样一个数x，所以，严格来说，应该还有下一步，就是验证2× 7+3 = 17在这里，显然是对的，但是对于更复杂的方程，相应的判断并不总是对的，所以这最后一步还是很重要的
方程2x+3 = 17称为线性方程这是因为作用在x上的函数是线性函数就像你刚才看到的，解一个只有一个未知数的线性方程很容易，但是如果要解多个未知数的方程，情况就比较复杂了考虑一个具有两个未知数的方程的典型例子，即方程3x+2y = 14这个等式有很多解
所以有一对满足这个方程为了让问题更难，可以再加一个方程，比如5x+3y = 22，然后试着同时解这两个方程此时结果是只有一个解x=2，y=4一般来说，两个含有两个未知数的线性方程正好有一组解如果从几何角度看这种情况，就很好理解了形状为ax+by = c的方程是xy平面上一条直线的方程两条直线正常情况下相交于一点，例外情况是两条直线相同，当它们相交于无穷多个点时，或者当它们平行时，它们根本不相交
如果有几个方程有几个未知数，那么把它们看成一个方程有一个未知数，在概念上会更简单这听起来完全不可能，但如果允许这个未知的东西是一个更复杂的物体，这是完全可能的例如，3x+2y = 14和5x+3y = 22可以写成包含矩阵和向量的单个方程
如果上面的矩阵用A表示，未知向量用X表示，已知向量用B表示，那么这个方程就变成了Ax=b，看起来简单多了，虽然实际上只是把复杂度藏在了符号里。
但是，这个过程不仅仅是把垃圾扫到地毯下面藏起来，还有更多简单的符号一方面掩盖了这个问题的很多具体细节，但另一方面也揭示了一些原本看不到的东西:从R 2到R 2有一个线性映射，我们想知道哪个向量X体现为向量b，如果遇到具体的联立方程组，也没多大区别我们需要做的计算还是一样的但如果要做一般的推理，考虑一个只有一个未知向量的矩阵方程要比考虑几个未知数的联立方程组容易得多这种现象在整个数学中都会出现，是研究高维空间的主要方法
等式
我们刚刚讨论了一元线性方程到多元线性方程的推广推广它们的另一个方向是把线性方程组看成1次多项式，考虑更高次的函数
这样的二次方程。更一般的多项式方程如下
解这样一个方程就是求x的值来满足这个方程。这似乎是一件显而易见的事情，但是当涉及到像
这个等式，就不是那么明显了。这个方程的解是
那么，根号2是什么它的定义是平方后等于2的正数但说x等于正数或负数，平方后为2，似乎并没有解出方程即使x = 1.4142135也不可能完全令人满意，因为它只是在一个无穷无尽的公式的开头写了一小段，而这个公式中并没有什么可辨别的模式
从这个例子中可以获得两个轮廓:
第一，对于一个方程，重要的是解的存在性和性质，而不是能不能找到解的公式。
尽管当我们说
它没有教给我们任何东西，但是这个断言确实包含了一个事实:2有平方根这一点通常是作为所谓中值定理的推论提出来的这个定理陈述了如果f是一个连续的实函数，f和f在零的一边，在a和b之间的某个地方，一定有一个实数C使得f=0这个结果可以用于函数f= x ^ 2—2，因为f=—1，f=2所以1和2之间一定有个x所以x 2—2 = 0对于许多目的来说，知道这个X的存在，加上知道这个X的性质被定义为平方后为正且为2就足够了
用类似的论点，我们知道所有的正实数都有正的平方根但是当我们尝试解更复杂的二次方程时，情况就不一样了这个时候，有两种方式可以选择例如，考虑等式
我们会注意到，当x=4时，它的值是—1，当x=5时，它的值是2由此，我们从介值定理得知，这个方程在4和5之间有解
会得到两个解，比利用介值定理得到的信息多我们已经证明了根号2的存在，并且知道它的值在1和2之间现在我们不仅知道方程x 2—6x+7 = 0中4和5之间有解，还知道这个解与方程x 2 = 2的解密切相关甚至可以说这个解是由方程x 2 = 2的解构造的
这就证明了解方程的第二个重要方面，即在很多情况下，解的显式可解性是一个相对的概念只要给出方程x 2 = 2的一个解，在求解复杂的方程x 2—6x+7 = 0时，不需要从介值定理得到任何新的输入，需要的只是一点代数
但是这个表达式中的根号2不是由一个显式公式定义的，而是作为一个实数这个实数有一些性质，我们可以证明它的存在
求解高次多项式方程比求解二次方程要困难得多，因而出现了许多吸引人的问题特别是求解三次或四次方程有复杂的公式，但求解五次或更高次方程是几百年来著名的未解难题直到19世纪，阿贝尔和伽罗瓦才证明无法找到显式解公式
多元多项式方程
有了这样一个等式
我们可以看到它有很多解:如果x和y固定，得到z的一个三次多项式方程所有三次多项式方程都有实解，所以对于每个固定的x和y，都有一个确定的z使得三元组是这个方程的解
因为三次方程的解的公式非常复杂，精确描述所有这些三元组的集合是没有意义的但是，如果把这组解看成一个几何对象，也就是空间中的二维曲面，考虑一些关于它的定性问题，我们可以从中学习到很多东西比如我们可能想知道它的一般性质，我们可以用拓扑学的语言把这些问题说清楚
当然也可以进一步推广到考虑几个多项式方程的联立求解理解这些方程的解集属于代数几何领域
丢番图方程
一个特定的方程是否有解，取决于允许在哪里求解如果只允许x是实数，那么方程x x+3 = 0无解，但在复数中，它有两个解方程x ^ 2+y ^ 2 = 11有无穷多个解，但如果x和y都是整数，这个方程无解
上面的例子是一个典型的丢番图方程每次看到这个名词，都有求其整数解的意思最著名的丢番图方程是费马方程
多亏了怀尔斯的工作，现在知道当n大于2时，它没有正整数解相反，方程x ^ 2+y ^ 2 = z ^ 2有无穷多个整数解现代代数数论的很大一部分都在直接或间接地讨论丢番图方程如同实数或复数的方程一样，讨论丢番图方程解集的结构是富有成果的，属于算术几何领域
丢番图方程的一个显著特点是它们极其困难因此，人们很自然会怀疑是否有一种系统的方法来处理它们这是希尔伯特在1900年提出的著名问题列表中的第10个问题但直到1970年，尤里·马蒂亚舍维奇才指出，这个问题的答案是否定的
丘奇和图灵在1936年迈出了解决这个问题的重要一步只有把算法的概念形式化，从而把系统化处理的概念搞清楚，才走出了这一步
不可能找到一个计算机程序，如果任何丢番图方程有解就输出是，无解就输出否，而且从不出错。
关于丢番图方程，这告诉了我们什么我们不能再梦想会有一个包含所有这些方程的最终理论相反，我们被迫关注这些方程的特殊类别，并对它们开发不同的解决方案如果不是因为丢番图方程与数学中其他一般方程之间的显著联系，似乎丢番图方程在前几个方程解完之后就索然无味了
例如等式
看起来很特殊，但实际上由其定义的椭圆曲线是现代数论的中心问题当然，费马大定理本身是一个丢番图方程，但它的研究导致了数论其他部分的重大发展正确的结论应该是:解一个特殊的丢番图方程如果结果不仅仅是在已经求解的方程列表中增加了另一个方程，那么它是有吸引力的，值得研究
微分方程
到目前为止，我们所考虑的方程都是以数或N维空间中的一个点来表示的未知数为了生成这样的方程，我们对基本的算术运算进行不同的组合，然后应用于未知的事物
这里有两个著名的微分方程，以便与过去讨论过的方程进行比较:
首先是常微分方程，即简谐运动方程，它有通解。
第二个是偏微分方程，这是一个热方程。
解微分方程是心灵手巧的飞跃，原因有很多。
一个原因是，现在未知的是一个函数，比N维空间中的数字或点复杂得多。
第二个原因是应用于函数的运算微分和积分远没有加法和乘法那么基础。顺序
三个原因是微分方程，即使是自然的，重要的微分方程，也可以用封闭形式求解，即一个未知函数F用一个公式来表示，这是例外的，非常规的。
现在回到第一个等式，
这意味着微分方程可以看作是一个扩展到无穷维的矩阵方程。热方程具有相同的性质:如果ψ定义为
那么ψ是另一个线性映射这种微分方程称为线性方程，它们与线性代数的明显联系使它们更容易求解在这方面一个有用的工具是傅立叶变换
那比较典型的方程呢，也就是那些不能以封闭形式求解的方程呢这时候，焦点再次转移到是否有解决方案如果有，它们的性质是什么与多项式方程一样，它取决于什么被认为是允许的解有时候，就好像我们又处于研究方程x 2 = 2的情况:证明解的存在并不难，我们只需要给它一个名字
就是一个简单的例子从某种意义上说，是解决不了的可以证明，不存在由多项式，指数函数，三角函数等构成的 "基本 "函数，微分后会得到E但是，从另一种意义上来说，这个方程很好解，只要对函数e进行积分，得到的函数就是正态分布函数
大多数情况下，写出解的公式是没有希望的一个著名的例子是三体:在太空中给三个运动的物体，让它们通过重力相互吸引，并问它们将如何继续运动牛顿定律可以用来写一个微分方程来描述这种情况对于两个运动的物体，牛顿求解了相应的方程，解释了为什么行星绕太阳做椭圆轨道运动，但对于三个或更多的物体，这些微分方程被证明是非常难以求解的现在我们知道，这种困难局面有一个深刻的原因:这时，这些微分方程就会导致混沌行为可是，这为研究混沌和稳定性这些非常有趣的问题开辟了道路
有时候，有办法证明解的存在，即使这些解不容易确定这时候你不需要得到一个确切的公式，只想得到一个大概的描述比如这个方程是含时的，人们会问，解是随时间衰减，爆破，还是基本不变这些更定性的问题被称为渐近行为问题有一些技巧可以回答其中的一些问题，尽管没有明确的公式给出解决方案
和丢番图方程的情况一样，偏微分方程中有一些特殊而重要的类，包括非线性偏微分方程，可以精确地写出这就给出了一种截然不同的研究风格:人们再次关注解的性质，但这一次更具有代数性质，即解的公式将发挥更重要的作用
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